线性回归分析-HW6

Prob-1

残差幅度随 $X$ 增大而减小，提示异方差；残差符号呈“正、负、正”的变化，也提示均值关系可能弯曲。适当的变量变换可能改善这些问题，具体变换需结合原始数据选择。

Prob-2

2-a

使用完整的 CH03PR15 数据，最小二乘回归结果为

$$\boxed{\widehat Y=2.575333-0.324000X.}$$

$$SSE=2.924653333,\qquad R^2=0.811577.$$

2-b

设五个时间点的总体均值为 $\mu_j$。

$$H_0:\mu_j=\beta_0+\beta_1x_j\quad(j=1,\ldots,5);$$

$H_1$：五个总体均值不全在同一直线上，即线性模型存在失拟。

来源	SS	df	MS
失拟	2.767253333	3	0.922417778
纯误差	0.157400000	10	0.015740000
残差合计	2.924653333	13	0.224973333

$$F^*=\frac{MS_{LOF}}{MS_{PE}} =\frac{0.922417778}{0.015740000}=58.603417.$$

在 $\alpha=0.025$ 下，拒绝规则为

$$F^*>F_{0.975}(3,10)=4.825621.$$

由于 $58.603417>4.825621$，且 $p=1.1945\times10^{-6}<0.025$，拒绝 $H_0$，线性模型存在显著失拟。

2-c

不能。该检验只能判断直线模型是否失拟，不能确定应采用哪一种回归函数；具体形式需结合散点图、科学背景和残差诊断选择。

Prob-3

3-a

浓度随时间呈指数衰减趋势，且浓度越高，组内波动越大。可尝试 $Y'=\log_{10}Y$，以改善线性关系并稳定方差。

3-b

几何均值为 $g=0.476297409$。按公式 (3.36) 标准化：

$$W_i(\lambda)= \begin{cases} \displaystyle\frac{Y_i^\lambda-1}{\lambda g^{\lambda-1}},&\lambda\ne0,\\[6pt] g\ln Y_i,&\lambda=0. \end{cases}$$

分别拟合 $W_i(\lambda)$ 对 $X_i$ 的直线，得到：

$\lambda$	SSE
-0.2	0.123530471
-0.1	0.065050668
0.0	0.038973035
0.1	0.043960618
0.2	0.081317930

$\lambda=0$ 的 SSE 最小，建议采用对数变换。

3-c

$$\boxed{\widehat{\log_{10}Y}=0.654879760-0.195400308X.}$$

$$SSE=0.032402343,\qquad MSE=0.002492488,\qquad R^2=0.992978.$$

3-d

各观测点接近回归直线，没有明显弯曲趋势，拟合良好。

3-e

令 $Z_i=\log_{10}Y_i$，残差为 $e_i=Z_i-\widehat Z_i$。

$i$	$X_i$	$Y_i$	$\widehat Z_i$	$e_i$
1	9	0.07	-1.103723	-0.051179
2	9	0.09	-1.103723	0.057966
3	9	0.08	-1.103723	0.006813
4	7	0.16	-0.712922	-0.082958
5	7	0.17	-0.712922	-0.056629
6	7	0.21	-0.712922	0.035142
7	5	0.49	-0.322122	0.012318
8	5	0.58	-0.322122	0.085550
9	5	0.53	-0.322122	0.046398
10	3	1.22	0.068679	0.017681
11	3	1.15	0.068679	-0.007981
12	3	1.07	0.068679	-0.039295
13	1	2.84	0.459479	-0.006161
14	1	2.57	0.459479	-0.049546
15	1	3.10	0.459479	0.031882

残差在零附近散布，没有明显漏斗形或曲线趋势；正态概率图中的点大致沿直线排列。线性、等方差及近似正态假设基本合理。

3-f

原单位下的反变换拟合曲线为

$$\boxed{\widetilde Y(X)=10^{0.654879760-0.195400308X} =4.517309(0.637675)^X.}$$

该曲线估计条件中位数；若对数误差服从正态分布，条件均值的修正估计为

$$\widehat{E(Y\mid X)}=1.006629\times10^{0.654879760-0.195400308X}.$$

Prob-4

4-a

速度随浓度增加而上升，增速逐渐减小并趋于平台，符合 Michaelis-Menten 饱和曲线的形状。

4-b

令 $U=1/C$、$W=1/V$。

两者大致呈正线性关系。但 $C=0.02$ 的两点波动明显较大，提示异方差；这两点也远离其余解释变量取值，具有高杠杆。

4-c

分布不同。倒数变换颠倒取值顺序，并拉大低浓度值之间的间距。

$C$	$1/C$
0.02	50.000000
0.06	16.666667
0.11	9.090909
0.22	4.545455
0.56	1.785714
1.10	0.909091

$C=0.02$ 的两个观测变为孤立的 $1/C=50$，其杠杆值均为 $0.459862$，Cook 距离分别为 $4.089$ 和 $3.192$，对拟合有很强的影响。

4-d

最小二乘回归直线为

$$\boxed{\widehat{\frac1V}=0.005107182+0.000247221\frac1C.}$$

$$SSE=3.580648427\times10^{-5},\qquad R^2=0.855695.$$

令 $\widehat W_i=\widehat{1/V_i}$、$e_i=1/V_i-\widehat W_i$。

$i$	$C_i$	$V_i$	$\widehat W_i$	$e_i$
1	0.02	76	0.017468230	-0.004310335
2	0.02	47	0.017468230	0.003808366
3	0.06	97	0.009227531	0.001081747
4	0.06	107	0.009227531	0.000118263
5	0.11	123	0.007354645	0.000775436
6	0.11	139	0.007354645	-0.000160400
7	0.22	159	0.006230913	0.000058395
8	0.22	152	0.006230913	0.000348034
9	0.56	191	0.005548648	-0.000313046
10	0.56	201	0.005548648	-0.000573523
11	1.10	207	0.005331928	-0.000501010
12	1.10	200	0.005331928	-0.000331928

残差波动随拟合值增大而明显增大，提示异方差；残差均值也有一定系统性趋势，模型假设存在问题。

4-e

反变换后的拟合曲线为

$$\boxed{\widehat V(C)=\frac1{0.005107181642+0.000247220961/C} =\frac{195.802709C}{0.048406534+C}.}$$

故 $\widehat\theta_1=195.802709$、$\widehat\theta_2=0.048406534$。

$C$	观测速度均值	$\widehat V$
0.02	61.5	57.246786
0.06	102.0	108.371351
0.11	131.0	135.968495
0.22	155.5	160.490117
0.56	196.0	180.224095
1.10	203.5	187.549420

曲线捕捉了饱和趋势，但明显低估高浓度下的速度。结合异方差和低浓度点的高影响性，该倒数回归拟合不够理想。