微积分拾遗2——多元函数积分学

重积分

二重积分的概念及性质

可积的条件

定理： 设 $D\subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域，二元函数在 $D$ 上可积，则它必定有界。

定理： 设 $D\subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域，且 $f(x,y)\in C(D)$ , 则 $f(x,y)\in R(D)$ .

二重积分的性质

积分中值定理： 设 $D\subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域， $f(x,y)\in C(D), g(x,y)\in R(D)$ 且 $g(x,y)$ 在 $D$ 上不变号，则存在 $\xi\in D$ 使得

$$\iint_D f(x,y)g(x,y)d\sigma = f(\xi)\iint_D g(x,y)d\sigma$$

轮换对称性：若 $D$ 是关于 $y=x$ 对称的区域，即 $(x,y)\in D \Leftrightarrow (y,x)\in D$ ，且 $f(x,y)\in R(D)$ , 则

$$\iint_D f(x,y)d\sigma = \iint_D f(y,x)d\sigma$$

注：只要求 $D$ 的形状，与 $f$ 的性质无关。

证明：若 $f(x) \in C[a,b]$，且 $f(x) > 0$（$\forall x \in [a,b]$），则

$$\iint_D \frac{f(x)}{f(y)} \, d\sigma \geq (b-a)^2,$$

其中 $D = [a,b] \times [a,b]$。

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证明

用中值定理，得原积分

$$I = \frac{f(\xi)}{f(\nu)}(b-a)^2$$

由轮换对称性，得

$$I = \frac{f(\nu)}{f(\xi)}(b-a)^2$$

故

$$I = \frac{1}{2}(b-a)^2 \left(\frac{f(\xi)}{f(\nu)} + \frac{f(\nu)}{f(\xi)}\right) \geq (b-a)^2$$

二重积分的计算

直角坐标系

定义： $x-$ 型区域：

$$D = \left\{(x,y): a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\right\}$$

$y-$ 型区域类似。

定理： 设 $D$ 是 $x-$ 型区域， $f(x,y)\in R(D)$ , 则

$$\iint_D f(x,y)d\sigma = \int_a^b dx \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dy$$

$y-$ 型区域类似。

二重积分的坐标变换

极坐标变换

$$\iint_{D}^{}f(x,y)d\sigma = \iint_{D_{r,\theta }}^{}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$$

例：设 $D = \{(x, y) : x^2 + y^2 \leqslant a^2\}$, 且 $f(x, y) \in C^1(D)$. 若 $f(x, y)$ 在圆周上取值为零, 证明:

$$\left| \iint\limits_{D} f(x, y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \right| \leqslant \frac{1}{3} \pi a^3 \max\limits_{(x, y) \in D} \sqrt{(f'_x)^2 + (f'_y)^2}.$$

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证明

任取 $(x,y)\in D$，由原点到 $(x,y)$ 引射线，对应地在圆周上有一交点 $(x_0,y_0)$，则 $f(x_0,y_0)=0$。由多元函数的微分中值定理，存在 $(\xi,\eta)$ 位于连接点 $(x,y)$ 和 $(x_0,y_0)$ 的线段上使得

$$f(x,y)-f(x_0,y_0) = f'_x(\xi,\eta)(x-x_0) + f'_y(\xi,\eta)(y-y_0)$$

再由 Cauchy 不等式，得

$$|f(x,y)| \leqslant \sqrt{(f'_x)^2 + (f'_y)^2} \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \leqslant \max\limits_{(x, y) \in D} \sqrt{(f'_x)^2 + (f'_y)^2}\sqrt[]{...}$$

同时积分即得。

$\iint_{D}^{}\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}dxdy$ 最好自己手积体会一下，用极坐标比较方便。

例： 求概率积分

$$I= \int_{\mathbb{R}}^{}e^{-x^2}dx$$

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解

令

$$I_R=\int_{-R}^{R}e^{-x^2}dx$$

则

$$I_R^2 = \int_{-R}^{R}e^{-x^2}dx \int_{-R}^{R}e^{-y^2}dy = \iint_{D}^{}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

其中 $D = \{(x,y): -R \leqslant x \leqslant R, -R \leqslant y \leqslant R\}$，是一个正方形，取其内切圆和外接圆，得 $I_R$ 的上下界。再对 $R$ 取极限，上下界收敛至同一值，由此得原积分 $I$ 的值。

一般的坐标变换

设 $G$ 是 $uv-$ 平面上的有界闭区域， 连续可微双射$\varphi: \begin{cases}x = x(u,v)\text{}\\y = y(u,v)\text{}\\\end{cases}$ 把 $G$ 映射为 $xy-$ 平面上的区域 $D$ ，且 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 在 $G$ 上不为零，则

$$\iint_D f(x,y)d\sigma = \iint_G f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$

例：计算

$$\iint_{x^2+y^2\le 1}^{}|3x+4y|dxdy$$

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解

能令 $u=3x+4y$ 就好了，至于 $v=v(x,y)$ 是啥，肯定还是一个线性组合，而且系数跟 $(3,4)$ 排成的矩阵可逆。但是再想想哈，变换之后积分区域也会改变，所以这个矩阵最好是正交矩阵。综合考虑之下，可以令

$$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}$$

这样积分就变成了

$$\iint_{u^2+v^2}^{}5|u|dudv$$

三重积分

三重积分的计算、一般坐标变换均与二重积分类似。下面讲两个特殊的坐标变换：

柱坐标变换

$$\begin{cases} x&= r \cos \theta\\ y&= r \sin \theta\\ z&= z \end{cases}$$

其中 $r \geqslant 0, 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$，

体积微元从 $dxdydz$ 变为 $rdrd \theta dz$

球坐标变换

$$\begin{cases} x&= \rho \sin \varphi \cos \theta\\ y&= \rho \sin \varphi \sin \theta\\ z&= \rho \cos \varphi \end{cases}$$

其中 $\rho \geqslant 0, 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$，

体积微元从 $dxdydz$ 变为 $\rho^2 \sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$

重积分的应用

空间曲面的面积

参数方程：

$$S: \bm r= \bm r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v) \end{pmatrix}, (u,v)\in D$$

面积微元

$$dS = \left\| \bm r_u'(u,v)\times \bm r_v'(u,v)\right\|dudv$$

定义

$$(A,B,C) = \bm r_u'(u,v)\times \bm r_v'(u,v)= (\det \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}, \det \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}, \det \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)})$$

$$(E,F,G)= (\left\| \bm r_u' \right\|^2, \left\| \bm r_v' \right\|^2, \bm r_u' \cdot \bm r_v')$$

则

$$dS = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}dudv = \sqrt{EF - G^2}dudv$$

$\bm r_u'(u,v)du$ 就是曲线 $\bm r(u,v)$ （v固定）的全微分， $\bm r_v'(u,v)dv$ 类似，二者构成的平行四边形可用来代替局部面积。

曲面方程 $z =f(x,y)$ ,面积微元

$$dS = \sqrt[]{1+f'^2_x+f'^2_y}dxdy$$

例：求曲面 $z=\sqrt[]{x^2-y^2}$ 在柱面 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$ 内部分的曲面面积。

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解

柱坐标换元，把柱面方程化为

$$\begin{aligned} r &= a \sqrt[]{\cos 2 \theta }\\ z &= z \end{aligned}$$

其中 $r\ge 0, \theta \in [0,2\pi]$,但是oops，注意，$\theta$ 的范围应该进一步缩小到 $[-\pi/4,\pi/4]\cup [3\pi/4,5\pi/4]$，因为 $r$ 是非负的。

再求曲面的面积微元得

$$dS = \sqrt[]{1+\frac{1}{\cos 2 \theta }}rdrd \theta$$

积分区域是

$$D = \{(r,\theta ): r\in [0,a \sqrt[]{\cos 2 \theta }], \theta \in [-\pi/4,\pi/4]\cup [3\pi/4,5\pi/4]\}$$

积分进行一系列操作后，最后要求

$$2 \sqrt[]{2}a^2 \int_{0}^{\pi /4}\cos \theta \sqrt[]{\cos 2 \theta }d \theta$$

手作一下，中间三角代换有些技巧，以及积分区域（主要是 $\theta$ 区间 ）的合并。

曲线积分

第一型曲线积分——关于弧长的曲线积分

第一型曲线积分的性质

轮换对称性： 若积分曲线 $L$ 关于 $x,y,z$ 具有轮换对称性，即 $(x,y,z)\in L \Leftrightarrow (y,z,x)\in L \Leftrightarrow (z,x,y)\in L$，且 $f(x,y,z)\in R(L)$
，则

$$\int_{L}^{}f(x,y,z)ds = \int_{L}^{}f(y,z,x)ds = \int_{L}^{}f(z,x,y)ds$$

第一型曲线积分的计算

定理： 设光滑曲线段 $L$ 的参数方程：

$$x = x(t), y = y(t), z = z(t), t\in [\alpha ,\beta ]$$

若 $f\in C(L)$ ,则 $f$ 在 $L$ 上可积，且

$$f(x,y,z)ds = \int_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt[]{x'^2+y'^2+z'^2}dt$$

其实就是把 $ds$ 算了一下，曲线微元早在这里就写到了。

第一型曲线积分中值定理：
设 $L$ 是光滑曲线段， $f\in C(L), g\in R(L)$ 且 $g$ 在 $L$ 上不变号，则存在 $\xi \in L$ 使得

$$\int_{L}^{}f(x,y,z)g(x,y,z)ds = f(\xi )\int_{L}^{}g(x,y,z)ds$$

第二型曲线积分————关于坐标的曲线积分

物理来源是变力做功问题。

第二型曲线积分的微分形式： 设 $L(A,B)$ 是从 $A$ 到 $B$ 的光滑曲线段，$\bm F(x,y,z) = (P(\cdot ),Q(\cdot ),R(\cdot ))$ 是向量值函数，定义在 $L$ 上，则

$$\int_{L(A,B)}^{}\bm F \cdot d\bm s = \int_{L(A,B)}^{}Pdx + Qdy + Rdz$$

称为 $\bm F$ 沿 $L(A,B)$ 的第二型曲线积分。上式也称为 第二型曲线积分的微分形式。

$$d\bm s = (dx,dy,dz) = (x',y',z')dt = \frac{(x',y',z')}{\sqrt[]{x'^2+y'^2+z'^2}}\sqrt[]{\cdots}dt = \frac{(x',y',z')}{\sqrt[]{x'^2+y'^2+z'^2}}ds$$

由此转化为第一型曲线积分。

例 计算 $I = \int_{L^+} (y - z) \mathrm{d}x + (z - x) \mathrm{d}y + (x - y) \mathrm{d}z$ ，其中 $L^+$ 是曲线 $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1, \\ z = x + y, \end{cases}$ 从 $z$ 轴正向看过去为逆时针方向.

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解

将 $z$ 带入原式得($z=x+y, dz = dx+dy$ )

$$I = \int_{L^+}^{}-ydx + xdy$$

转化成二维的曲面积分，只用看曲线 $L^+$ 在 $xy$ 平面上的投影就好了，参数方程为

$$\begin{cases} x&= \cos t\\ y&= \sin t \end{cases}$$

其中 $t: 0\to2\pi$，积分即得。

格林公式

格林公式

曲线的正向：设区域 $D\in \mathbb{R}^2$ 的边界 $\partial D=l$ 是由几条光滑曲线组成的．若沿着 $l$ 行走时，区域 $D$ 总位于 $l$ 的左侧，该方向定义为曲线 $l$ 的正方向，规定了正方向的封闭曲线 $l$ 记为 $l^+$

定理 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域，$P(x,y), Q(x,y) \in C^1(D)$，$D$ 的边界 $\partial D = l$ 是光滑或分段光滑的封闭曲线，则

$$\oint_{l^+} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y . \qquad (14.3.1)$$

例 计算 $\oint_{l^+} \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2}$ ，其中 $l^+ : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 是逆时针方向.

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解

注意 那两货在 $(0,0)$ 处不连续，不符合格林公式的条件。以原点为中心挖个小圆，再用格林公式。

要计算一个丑圆环上的二重积分和圆上的第二型曲线积分，前者根据对称性为0，后者由于 $x^2+y^2$ 为定值，好计算。

可以用

$$\frac{1}{2}\oint_{l^+}^{}xdy-ydx$$

计算封闭曲线 $l^+$ 围成的区域的面积。

曲线积分与积分路径无关的条件

定理 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是单连通区域，若 $P(x,y), Q(x,y) \in C^1(D)$，则下列叙述等价：

（i）曲线积分 $\int_{L(A,B)} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ 与积分路径无关，只与起点 $A$ 和终点 $B$ 有关；

（ii）存在函数 $u(x, y) \in C^1(D)$ 使得 $\mathrm{d}u = P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ ；

（iii）在 $D$ 内的每一点，都有 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 成立；

（iv）对 $D$ 内任意光滑或分段光滑的封闭曲线 $l$，$\oint_{l} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$.

曲线积分基本公式 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域. 若 $P(x,y), Q(x,y) \in C^1(D)$，且存在 $D$ 上的连续可微函数 $u(x,y)$ 使得 $u(x,y)$ 是 $P(x,y)\mathrm{d}x + Q(x,y)\mathrm{d}y$ 的一个原函数，则对 $\forall A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) \in D$ ，

$$\int_{L(A,B)} P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = u(x_2, y_2) - u(x_1, y_1)$$

其中 $L(A,B)$ 是任一条以 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的光滑或分段光滑的曲线.

全微分方程

定义： 微分方程

$$P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0$$

的左边若是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即存在 $u(x,y)\in C^1(D)$ 使得 $\mathrm{d}u = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$，则称该微分方程是全微分方程。

曲面积分