微积分拾遗3——级数

数项级数

级数的敛散性

柯西收敛准则： 级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛的充分必要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n \geq N$ 时，对任意 $p\in \mathbb{N}^+$ 有

$$|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}| < \varepsilon.$$

推论：若级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，则 $a_n \to 0$。

正项级数

广义调和级数的敛散性 级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 的敛散性与 $p$ 的大小有关：当 $p > 1$ 时，级数收敛；当 $p \leq 1$ 时，级数发散。

比较判别法 设 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 是两正项级数，且 $a_n, b_n \geq 0$。如果存在常数 $C > 0$，使得对于足够大的 $n$，有 $a_n \leq C b_n$，则：

• 如果 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 也收敛。
• 如果 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 也发散。

比较判别法的极限形式： 设 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 是两正项级数，且 $a_n, b_n \geq 0$。如果存在常数 $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$，则：

• 如果 $0 < L < \infty$，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 和 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 同敛散。
• 如果 $L = 0$，且 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 也收敛。
• 如果 $L = \infty$，且 $\sum_{n=1}^\infty b_n$ 发散，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 也发散。

比阶判别法： 设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个正项级数，则：

• 若存在 $p>1$ 使得 $\lim_{n \to \infty} n^pu_n=c$, 则 级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛。
• 若存在 $p\leq 1$ 使得 $\lim_{n \to \infty} n^pu_n=c$, 则 级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散。

比值判别法： 设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个正项级数，且 $\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = L$，则：

• 如果 $L < 1$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛。
• 如果 $L > 1$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散。
• 如果 $L = 1$，则该判别法无法判断级数的敛散性。

推论： 设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个正项级数，则：

• 若 $\overline{\lim}_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}<1,$ 则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛。
• 若 $\underline{\lim}_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}>1,$ 则 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散。

根式判别法：设 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 是一个正项级数，且 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = L$，则：

• 如果 $L < 1$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 收敛。
• 如果 $L > 1$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 发散。
• 如果 $L = 1$，则该判别法无法判断级数的敛散性。

积分判别法： 设 $f(x)$ 是定义在 $[1, \infty)$ 上的正值单调递减函数，且 $f(n) = a_n$，则级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的敛散性与积分 $\int_1^\infty f(x) \, dx$ 的敛散性相同。

例: 讨论级数

$$\sum_{n=1}^{\infty}n^p(\sqrt[]{n+1}-2 \sqrt[]{n}+\sqrt[]{n-1})$$

的敛散性。

▶

解

重点是处理那堆根号的加减，搞明白这坨的阶。处理加减的阶，用泰勒展开。这是一个二重差分，那展到2阶就够了。

$$\begin{align*} \sqrt[]{n+1}&= \sqrt[]{n}\sqrt[]{1+1/n}\\ &=\sqrt[]{n}(1+\frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^2}+O(\frac{1}{n^3})) \\ &= \sqrt[]{n}+\frac{1}{2\sqrt[]{n}}-\frac{1}{8n^{3/2}}+O(\frac{1}{n^{5/2}})\\ \end{align*}$$

$\sqrt[]{n-1}$ 同理，换个符号的事。最后这坨的结果是

$$-\frac{1}{4n^{3/2}}+O(\frac{1}{n^{5/2}}).$$

乘上 $n^p$ 得

$$-\frac{1}{4n^{3/2-p}}+O(\frac{1}{n^{5/2-p}}).$$

$n$ 够大之后不变号，当正项级数处理。比阶判别法，$p<1/2$ 收敛，$p\ge 1/2$ 发散。

任意项级数

函数项级数

定义：函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的收敛点的集合称为该级数的收敛域。

定义： 函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的收敛域为 $D$ ，定义

$$S(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x), \quad x \in D.$$

则 $S(x)$ 称为函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的和函数。

M-判别法： 设 $u_n(x)$ 定义在区间 $I$ 上。如果 $\forall n\ge 1$ ,有 $|u_n(x)|\le c_n\,(\forall x\in I)$ ,且 正项级数 $\sum_{n=1}^\infty c_n$ 收敛，则函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛。

函数列的一致收敛就是上确界范数意义下的收敛。

若函数项级数一致收敛于其和函数，那么连续性得到保持，并且可以逐项积分。

可逐项微分的条件：设定义在 $[a,b]$ 上的函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty }u_n(x)$ 满足下面的条件：

• 存在 $x_0\in [a,b]$ 使得 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 收敛。
• $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数。
• $\sum_{n=1}^{\infty }u'_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
  则 $\sum_{n=1}^{\infty }u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，并且

$$\left(\sum_{n=1}^{\infty }u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_n(x).$$

幂级数

幂级数的收敛域一定是以原点为中心的区间。

收敛半径的求法：设幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ ，若 $\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=l$ (或 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=l$)，则幂级数的收敛半径 $R$ 满足 $R = 1/l$（当 $l=0$ 时，$R=\infty$；当 $l=\infty$ 时，$R=0$）。

$(-R,R)$ 称为收敛区间，端点处的敛散性依具体级数而定。