分别独立与联合独立

澄清一下两者的差别。

考虑以下例子：

$$\begin{align} X & \perp Y \\ P(X=1) & =P(X=-1)=\frac{1}{2} \\ P(Y=1) & =P(Y=-1)=\frac{1}{2} \end{align}$$

令 $Z=XY$，则

$$\begin{align} P(Z=1\mid X=1)=P(Z=1) & =\frac{1}{2} \\ \dots & \end{align}$$

总之 $Z\perp X,Z \perp Y$

但是 $Z\not\perp (X,Y)$，因为若知道 $(X,Y)$ 整体，则 $Z$ 也被确定了。