微积分拾遗1——多元函数微分学

前言

写这个保研复习用。主要内容是崔老师的《微积分原理（下）》，照抄定理与例题，按个人感悟，有所裁剪。

之前是写LaTex的，但是PDF不太灵活，而且现在AI时代这个格式不吃香，还没有暗黑模式，总之就是各种缺点，弃之。

多元函数微分学

多元函数的偏导数与全微分

多元函数的偏导数

多元函数在一点的偏导数存在与否和函数在该点的连续性互不蕴含。实际上，$f(x,y)$ 偏导数存在只是说明这个函数沿某一水平或竖直线连续。

多元函数的偏导数与全微分

全微分的定义：设 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 在 $(x_{01}, x_{02}, \cdots, x_{0n})$ 的某邻域内有定义. 若 $f$ 在 $x_0$ 的函数值的全改变量 $\Delta y$ 可以表示为

$$\Delta y = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + \cdots + A_n \Delta x_n + o(||\Delta x||)$$

其中 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是常数，$||\Delta x|| = \sqrt{\Delta x_1^2 + \Delta x_2^2 + \cdots + \Delta x_n^2}$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，线性主部记为 $df = A_1 \Delta x_1 + A_2 \Delta x_2 + \cdots + A_n \Delta x_n$，称 $df$ 是 $f$ 在 $x_0$ 处的全微分。

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例：二次型的全微分

$f(x)=x^TAx$ 其中 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵，则 $f$ 的全改变量为

$$\Delta f = (x+\Delta x)^TA(x+\Delta x) - x^TAx = 2x^TA\Delta x + \Delta x^TA\Delta x$$

前一半是线性主部，下证后一半是 $||x||$ 的高阶无穷小。

由于 $A$ 是对称矩阵，存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = \Lambda$ 是对角矩阵。设 $y = P^Tx$，$\Delta y = P^T\Delta x$，则

$$\Delta x^TA\Delta x = \Delta y^T\Lambda \Delta y = \sum_{i=1}^n \lambda_i \Delta y_i^2$$

其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。上式取最小特征值可以得一下界，取最大特征值可以得一上界，而这两个界都是 $||\Delta y||^2$ 的常数倍，注意 $||\Delta y|| = ||\Delta x||$，下略。

函数可微的条件

定理：函数在一点可微，则在该点的偏导数都存在，且函数在该点连续。全微分系数等于该点的偏导数值。

下面的例子说明偏导数存在不一定推出函数可微。

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例：偏导数存在但函数不可微

设

$$f(x,y) = \sqrt[]{|xy|},$$

则 $f$ 在 $(0,0)$ 的偏导数都存在，且为零，但 $f$ 在 $(0,0)$ 不可微。

下面的定理给出函数可微的充分条件：

定理：设 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ 在 $(x_{01}, x_{02}, \cdots, x_{0n})$ 的某邻域内有定义，且在该邻域内各偏导数存在且连续，则 $f$ 在 $(x_{01}, x_{02}, \cdots, x_{0n})$ 处可微。

全微分在函数近似中的应用

略。

例题

$f(x,y)=|x-y|\phi(x,y)$， 其中 $\phi(x,y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\phi(0,0)=0$，考察 $f$ 在 $(0,0)$ 的可微性。

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解

$$\begin{align*} \Delta f &= f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)\\ &= |\Delta x-\Delta y|\phi(\Delta x,\Delta y)\\ \end{align*}$$

而

$$\frac{|\Delta x-\Delta y|}{\sqrt[]{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \leq \frac{|\Delta x| + |\Delta y|}{\sqrt[]{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \leq \sqrt[]{2}$$

有界函数乘无穷小还是无穷小，所以 $\Delta f$ 是 $||\Delta x||$ 的高阶无穷小，$f$ 在 $(0,0)$ 可微。（线性主部为常数0）

$f(x,y)$ 定义在 $\mathbb{R}^2$ 上，对 $x$ 连续，对 $y$ 的偏导数有界，证明 $f$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续。

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解

$$\begin{align*} f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)&= f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)+f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\\ &=f'_y(x+\Delta x,y+\theta \Delta y)\Delta y+f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\\ \end{align*}$$

下略。

不能用 $f(x ,y+\Delta y)$ 插项。

高阶偏导数与复合函数的微分

高阶偏导数

施瓦茨定理：如果在 $x=(x_0,y_0)$ 的邻域内 $f(x,y)$ 的二阶偏导数 $f''_{xy}$ 和 $f''_{yx}$ 都存在且连续，则 $f''_{xy}(x_0,y_0) = f''_{yx}(x_0,y_0)$。

复合函数的微分

由于即使偏导数存在，多元函数也不一定连续，所以它复合后的偏导数也不一定存在。因此复合函数的微分的要求要更强一些。

定理：设 $z=f \left(x_1, x_2, \cdots , x_n \right)$ 可微，诸 $x_i=x_i(t)$ 是 $t$ 的可导函数，则复合函数 $z$ 是 $t$ 的可导函数，且

$$\frac{dz}{dt} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot \frac{dx_i}{dt}$$

推论： 若诸 $x_i = x_i(t_1, t_2, \cdots , t_m)$ 那么复合函数 $z$ 存在偏导数，且

$$\frac{\partial z}{\partial t_j} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial x_i}{\partial t_j}$$

一阶全微分的形式不变性

设 $z=f(u,v), u=u(x,y), v=v(x,y)$，则

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

另外，还可以计算得到

$$dz = \frac{\partial f}{\partial u}du + \frac{\partial f}{\partial v}dv$$

即 $u,v$ 无论是作为 $z$ 的自变量还是中间变量，$z$ 的全微分的形式都是一样的。

利用一阶全微分的形式不变性计算复合函数的偏导数相对容易，不容易出错。

例题：设 $z= f(x,u,v)$，其中 $u = u(x,y), v = v(x,y,u)$，求 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$

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解

$$\begin{align*} dz &= f'_xdx+f'_udu+f'_vdv\\ &= f'_xdx+f'_u(u'_xdx + u'_ydy)+f'_v\left(v'_xdx+v'_udu+v'_ydy\right)\\ &= ...\\ &= (...)dx + (...)dy \end{align*}$$

方向导数与梯度

方向导数

定义：设 $z=f(x_1,x_2,...,x_n)$ 在 $P_0(x_{01},x_{02},...,x_{0n})$ 的某邻域内有定义，$\bm{v}$ 是以 $P_0$ 为起点的单位向量，则 $f$ 在 $P_0$ 沿 $\bm{v}$ 的方向导数定义为

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{f(P_0 + t\bm{v}) - f(P_0)}{t}$$

记为 $\frac{\partial f}{\partial \bm{v}}\mid_{P_0}$

• 注意这是一个单边极限，参数 $t$ 代表有向距离。
• 方向导数存在不蕴含函数在该点连续。

梯度

定义：设函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 在 $\bm x_0 = (x_{01},x_{02},...,x_{0n})$ 处可微，称向量

$$(f'_{x_1}(\bm x_0), f'_{x_2}(\bm x_0), ..., f'_{x_n}(\bm x_0))$$

为函数 $f$ 在 $\bm x_0$ 处的梯度，记为 $\nabla f(\bm x_0)$。

定理：设函数 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 在 $\bm x_0 = (x_{01},x_{02},...,x_{0n})$ 处可微，则函数 $f$ 在 $\bm x_0$ 沿任意单位向量 $\bm v$ 的方向导数都存在，且

$$\frac{\partial f}{\partial \bm v}\mid_{\bm x_0} = \nabla f(\bm x_0) \cdot \bm v$$

• 梯度方向是函数值增加最快的方向
• 梯度方向的反方向是函数值减小最快的方向

例题

设 $f(x,y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的可微函数，且满足

$$\lim_{r \to +\infty }(xf'_x+yf'_y)=a>0\quad (r=\sqrt[]{x^2+y^2})$$

试证：$f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上必有最小值

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解

由极限的保号性，存在 $r_0$ 使得当 $r\ge r_0$ 时，$xf'_x+yf'_y>0.$ 由此知 $(x,y)$ 处沿 $(x,y)$ 方向的方向导数大于0.

记圆盘 $D=\{(x,y):r \leq r_0\}$，$D$ 外一点 $(x,y)$ 与原点连线与 $D$ 的交点为 $(x_0,y_0)$，则 $f(x,y)>f(x_0,y_0)$ 因为 $f$ 从 $(x_0,y_0)$ 沿 $(x,y)$ 方向递增。

又因为 $f$ 在 $D$ 上连续，$D$ 是紧集，所以 $f$ 在 $D$ 上有最小值，且此最小值在 $\mathbb{R}^2$ 也是最小值。

向量值函数的微分

向量值函数的微分

定义： 设 $\boldsymbol{x}_0 = (x_{01}, x_{02}, \cdots, x_{0n}) \in \mathbb{R}^n$, $\Delta\boldsymbol{x} = (\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n)$. 若映射 $\boldsymbol{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 的全改变量

$$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0 + \Delta\boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) = A\Delta\boldsymbol{x} + \boldsymbol{\alpha}(\Delta\boldsymbol{x}),$$

其中 $A$ 是与 $\Delta\boldsymbol{x}$ 无关的 $m \times n$ 阶的矩阵, $\boldsymbol{\alpha}(\Delta\boldsymbol{x})$ 是 $\Delta\boldsymbol{x}$ 的函数并满足 $\lim_{\|\Delta\boldsymbol{x}\| \to 0} \frac{\|\boldsymbol{\alpha}(\Delta\boldsymbol{x})\|}{\|\Delta\boldsymbol{x}\|} = 0$, 则称映射 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 点处可微.

定义：

$$\left.\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}\right|_{\boldsymbol{x}_0}$$

称为映射 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 的雅可比（Jacobi）矩阵，记为 $\text{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$ 或 $\left.\frac{\partial(f_1, f_2, \cdots, f_m)}{\partial(x_1, x_2, \cdots, x_n)}\right|_{\boldsymbol{x}_0}$.

定理：用 $\text{d}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$ 表示 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 的微分，则

$$\text{d}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) = \text{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)\text{d}\boldsymbol{x} = \left.\frac{\partial(f_1, f_2, \cdots, f_m)}{\partial(x_1, x_2, \cdots, x_n)}\right|_{\boldsymbol{x}_0} \begin{pmatrix} \text{d}x_1 \\ \text{d}x_2 \\ \vdots \\ \text{d}x_n \end{pmatrix}$$

注： 诸 $r_i(\bm x)$ 满足 $\frac{\|r_i(\bm x)\|}{\|\bm x\|}\to 0$,证明 $\frac{\sqrt[]{r_1^2+r_2^2+\cdots r_n^2}}{\|\bm x\|}\to 0$ (以上过程均相对 $\bm x\to \bm 0$ 而言)

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证明

利用 $\sqrt[ ]{r_1^2+\cdots r_n^2}\le |r_1| + \cdots |r_n|$ 即二范数小于一范数。

另外反过来也是成立的，因此向量值函数在某点可微等价于其所有分量函数在该点可微。

复合函数的微分

定理： 设 $\varOmega \subset \mathbb{R}^n$ 和 $D \subset \mathbb{R}^m$ 是非空集合， $\boldsymbol{u} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) : \varOmega \to \mathbb{R}^m$ 和 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{u}) : D \to \mathbb{R}^k$ 是两个映射，满足 $R(\boldsymbol{f}) \subseteq D(\boldsymbol{g})$. 如果 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0 \in \varOmega$ 处可微， $\boldsymbol{g}$ 在 $\boldsymbol{u}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0) \in D$ 处可微，则复合映射 $\boldsymbol{g} \circ \boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0$ 处可微，且 $\text{D}(\boldsymbol{g} \circ \boldsymbol{f})(\boldsymbol{x}_0) = \text{D}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{u}_0) \cdot \text{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$.

隐函数微分法与逆映射微分法

隐函数的微分

定理： 设定义在开集 $D \subset \mathbb{R}^2$ 上的二元函数 $F(x, y)$ 满足下列条件：

1. $F(x, y) \in C^1(D)$；

2. $\exists (x_0, y_0) \in D$ 使得 $F(x_0, y_0) = 0$；

3. $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$，

则存在包含 $(x_0, y_0)$ 的开矩形区域 $I \times J \subset D$ 使得下列结论成立：

1. 对 $\forall x \in I$，存在唯一的 $y \in J$ 使得 $F(x, y) = 0$，即方程 $F(x, y) = 0$ 确定了隐函数 $y = f(x)$；

2. $y_0 = f(x_0)$；

3. $f \in C^1(I)$；

4. 对 $\forall x \in I$，有 $f'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x, y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x, y)}$.

• 这是局部性结论，且是隐函数存在的充分条件，具体来讲，条件3是充分条件。
• 若将条件3改为 $\frac{\partial F}{\partial x}(x_0, y_0) \neq 0$ 且 $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0, y_0) \neq 0$，则方程同时确定两个隐函数，这俩互为反函数。

逆映射的微分

定理：设 $\varOmega \subset \mathbb{R}^n$ 是非空开集，映射 $\boldsymbol{y} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) : \varOmega \to \mathbb{R}^n$ 连续可微. 若映射 $\boldsymbol{f}$ 在 $\boldsymbol{x}_0 \in \varOmega$ 的雅可比矩阵 $\text{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$ 可逆，记 $\boldsymbol{y}_0 = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)$，则存在 $\delta > 0, \eta > 0$ 及连续可微映射 $\boldsymbol{g} : \mathscr{B}(\boldsymbol{y}_0, \eta) \to \mathscr{B}(\boldsymbol{x}_0, \delta)$ 满足 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}_0) = \boldsymbol{x}_0$，且对 $\forall \boldsymbol{y} \in \mathscr{B}(\boldsymbol{y}_0, \eta)$，有唯一的 $\boldsymbol{x} \in \mathscr{B}(\boldsymbol{x}_0, \delta)$ 使得 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y})$，称映射 $\boldsymbol{g}$ 是映射 $\boldsymbol{f}$ 的逆映射，记为 $\boldsymbol{g} = \boldsymbol{f}^{-1}$，且对 $\forall \boldsymbol{y} \in \mathscr{B}(\boldsymbol{y}_0, \eta)$，$\text{D}\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{y}) = (\text{D}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))^{-1}$.

意思就是某点的雅可比矩阵可逆，那么在这个局部存在一个反函数。

但是注意，一个映射定义域上每一点的雅可比矩阵都可逆，并不一定说明这个映射是双射，比如极坐标变换。

回看崔老师的教材，还是觉得苏味很重，引导性不强。隐函数部分由二元引入到多元过渡性尚可，接下就直接放出来由方程组确定的隐函数组（即向量值函数）的定理（这个我没有抄录），读来有如一阵浓雾扑面，不知所向。

多元函数微分学的应用

多元函数微分学的几何应用

空间曲线

空间直线方程的分量形式:

$$\begin{cases} x = x_0 + tv_1, \\ y = y_0 + tv_2, & t \in \mathbb{R}. \\ z = z_0 + tv_3, \end{cases}$$

消去参数 $t$ ，得到点向式：

$$\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}$$

注：

• 若 $v_1 = 0$，理解为

$$\begin{cases} x -x_0=0, \\ \frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3} \end{cases}$$

• 若 $v_1=v_2=0$ ，理解为

$$\begin{cases} x -x_0=0, \\ y-y_0=0 \end{cases}$$

下面介绍空间曲线在一点的切线。

设空间曲线的参数方程为

$$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), & t \in I\\ z = z(t), \end{cases}$$

诸分量函数在 $I$ 内可导，取 $t=t_0\in I$，令 $x_0=x(t_0), y_0=y(t_0), z_0=z(t_0)$，取改变量 $\Delta t$，则各分量有相应的改变量 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$，由 $(x_0,y_0,z_0)$ 和 $(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)$ 确定的直线是该曲线的一条割线，其点向式方程为

$$\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}$$

其与

$$\frac{x-x_0}{\Delta x/\Delta t}=\frac{y-y_0}{\Delta y/\Delta t}=\frac{z-z_0}{\Delta z/\Delta t}$$

等价。
当 $\Delta t \to 0$ 时，割线有极限位置,即切线，其点向式方程为

$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$$

切线的方向向量 $(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，也称为切向量

应该注意到，切向量若是零向量，则不能这样确定切线。事实上曲线在一点的切向量为零，并不能说明该曲线在该点没有切线，例如 $x=t^3, y=t^4, z=t^5$ 在 $t=0$ 处切向量为零，但该曲线在 $t=0$ 处的切线是存在的。

上面的例子，$t=0$ 处的坐标是 $(0,0,0)$ ,这点是个尖点（可以用可视化计算器看一下）。想象一个由两个半圆弧拼接成的曲线，思考尖点处的切线后，我才发现，我不知道一个普适的切线定义，我印象中只有用导数的定义。这是一个问题，留待以后解决。

这么看来，处处具有非零切向量的曲线的性质是良好的，我们应该给它们取个名字。

定义：曲线上处处有非零的切向量，且切向量在曲线上连续变化，这样的曲线称为光滑曲线。

回忆向量值函数的微分，空间曲线 $\bm r(t)$ 的弧长微元可以这么计算：

弧长微元：

$$ds = \|d\bm r\|=\left\| \begin{pmatrix} \frac{dx}{dt}\\ \frac{dy}{dt}\\ \frac{dz}{dt} \end{pmatrix}dt \right\| = \sqrt[]{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2} dt$$

这一部分的时候用了四十分钟。。。对复习来说有点长了。时间耗在哪呢？我在找引入的动机，使展开逻辑适合于我。感觉在重写教材xs。

苏味教材。。。以后不这样了，罗列知识点行了，这样对复习来说效率高点。

空间曲面的切平面和法线

曲面的一般方程

曲面的一般方程为

$$F(x,y,z)=0$$

某点法向量：

$$\bm n = (F'_x(\bm x_0),F'_y(\bm x_0),F'_z(\bm x_0))$$

某点切平面方程：

$$F_x'(\bm x_0)(x-x_0)+F'_y(\bm x_0)(y-y_0)+F'_z(\bm x_0)(z-z_0)=0$$

对二元函数，类似可得平面上曲线的法向量、切线方程。

定义：曲面处处有非零法向量且法向量连续变化，则称曲面光滑。

曲面的参数方程

空间曲线的切线与法平面

空间曲线的参数方程

空间曲线的一般方程

感觉跟高中的解析几何一样无聊，感觉不会是保研笔试的考察点，先略过。

高阶全微分与泰勒公式

高阶全微分

一个函数 $f(\bm x)$ 的全微分 $df(\bm x)$ 可以看作是关于 $\bm x $ 的函数（$d\bm x$ 放一边去。。。放弃理解了。。。）。因此可以再求一次全微分。

求一次全微分得到

$$df(\bm x) = \sum_{i=1}^n f'_{x_i}(\bm x) dx_i$$

对里面的 $f'_{x_i}(\bm x)$ 再求一次全微分，得到

$$\begin{align*} d^2f(\bm x) &= \sum_{i=1}^n df'_{x_i}(\bm x) dx_i\\ &= \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n f''_{x_ix_j}(\bm x) dx_j \right) dx_i \end{align*}$$

假设 $f(\bm x)$ 的二阶偏导数连续，则 $f''_{x_ix_j}(\bm x) = f''_{x_jx_i}(\bm x)$，那上面那一坨就是一个二次型，写成矩阵形式为

$$d^2f(\bm x) = \begin{pmatrix} dx_1 & dx_2 & \cdots & dx_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial ^2f}{\partial x_1^2}(\bm x) & \frac{\partial ^2f}{\partial x_1 \partial x_2}(\bm x) & \cdots & \frac{\partial ^2f}{\partial x_1 \partial x_n}(\bm x) \\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_2 \partial x_1}(\bm x) & \frac{\partial ^2f}{\partial x_2^2}(\bm x) & \cdots & \frac{\partial ^2f}{\partial x_2 \partial x_n}(\bm x) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial ^2f}{\partial x_n \partial x_1}(\bm x) & \frac{\partial ^2f}{\partial x_n \partial x_2}(\bm x) & \cdots & \frac{\partial ^2f}{\partial x_n^2}(\bm x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ \vdots \\ dx_n \end{pmatrix}$$

这个矩阵叫做 $f$ 的 Hessian 矩阵，记为 $H_f(\bm x)$。

二元函数的高阶全微分：

$$d^nf(x,y)=\left(h \frac{\partial }{\partial x}+k \frac{\partial }{\partial y}\right)^nf(x,y)$$

其中 $h, k$ 分别等于 $dx, dy$。

泰勒公式

定理：设 $D\subset \mathbb{R}^2$ 是凸区域，函数 $f(x,y)\in C^{n+1}(D)$ 且 $P_0=(x_0,y_0)\in D$，则对 $\forall (x,y)\in D$，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得

$$f(x,y) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \left( (x-x_0)\frac{\partial }{\partial x} + (y-y_0)\frac{\partial }{\partial y} \right)^k f(x_0,y_0) + \frac{1}{(n+1)!} \left( (x-x_0)\frac{\partial }{\partial x} + (y-y_0)\frac{\partial }{\partial y} \right)^{n+1} f(x_0+\theta(x-x_0), y_0+\theta(y-y_0))$$

二元函数的微分中值定理：
设 $D\subset \mathbb{R}^2$ 是凸区域，函数 $f(x,y)\in C^1(D)$ 且 $P_0=(x_0,y_0)\in D$，则对 $\forall (x,y)\in D$，存在 $\theta \in (0,1)$ 使得

$$f(x,y) - f(x_0,y_0) = \left( (x-x_0)\frac{\partial }{\partial x} + (y-y_0)\frac{\partial }{\partial y} \right) f(x_0+\theta(x-x_0), y_0+\theta(y-y_0))$$

注：用自然语言说就是：函数的全改变量与某个中间点处的全微分的值相等。一元的情形也可以这么说。但一元情形的「存在斜率等于割线斜率的切线」这种理解则难以推广。

多元函数的极值

无条件极值

定理 ： 设 $n$ 元函数 $f(\bm x)$ 在 $\bm x_0$ 的某个邻域 $\mathcal{U}$ 内又连续的二阶偏导数，且 $\bm x_0$ 是函数 $f$ 的驻点，则：

1. Hessian 矩阵 $H_f(\bm x_0)$ 是正定的，则 $\bm x_0$ 是函数 $f$ 的局部极小值点；
2. Hessian 矩阵 $H_f(\bm x_0)$ 是负定的，则 $\bm x_0$ 是函数 $f$ 的局部极大值点；
3. Hessian 矩阵 $H_f(\bm x_0)$ 不定时，$\bm x_0$ 不是函数 $f$ 的局部极值点。
4. Hessian 矩阵 $H_f(\bm x_0)$ 半正定或半负定时，无法判断 $\bm x_0$ 是否是函数 $f$ 的局部极值点。

例： 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 为有界闭凸集，$f(x,y) \in C^2(D)$ 且满足对任意 $(x,y) \in D$，有

$$f_{xx}''(x,y) + f_{yy}''(x,y) = 0, \quad f_{xx}''(x,y) \neq 0.$$

试证：$f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值与最小值只能在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上取得。

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证明

有界闭集上连续函数必有最值。设最值在内部取到，则一定是极值。计算该点的Hessian矩阵的行列式值必定小于零，二阶矩阵行列式小于零，说明矩阵必定不正定也不负定，故该点不是极值点，矛盾。

实对称矩阵正定 $\Leftrightarrow$ 其特征值全大于零

例： 设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是有界闭区域且设 $f \in C(D)$，$f$ 在 $D$ 内可微，满足方程 $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = kf(x,y)$，$k > 0$，若在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上有 $f(x,y) = 0$，试证 $f$ 在 $D$ 上恒等于零。

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证明

假设内部存在一点大于零，则最大值点 $(x_M,y_M)$ 也在内部，而最值一定是极值，在该点取偏导，都为零，由已知条件得 $kf(x_M,y_M)=0$，推得最大值为零，矛盾！因此内部不存在大于零的点。同样的道理，内部也不存在小于零的点，所以 $f$ 在 $D$ 上恒等于零。