拓扑学中反例

余可数拓扑

取全空间为 $\mathbb{R}$ ，开集 $\mathcal{T}$ 被指定为那些补集可数的子集以及空集。它不是第一可数空间，而我们知道，第一可数性质在序列的收敛方面非常重要，下面看看不具备这个性质的拓扑空间中，序列的收敛呈现何种样貌。

非第一可数的证明

假设 $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ 第一可数，那么任取一点 $x\in \mathbb{R},$ 存在一个可数开邻域基 $\mathcal{B} = \{U_n,n\ge 1\}$。 易见 $\bigcup_{n\ge 1}U_n^c = \left( \bigcap_{n\ge 1}U_n \right)^c$ 可数，因此可取 $y\in \bigcap_{n\ge 1}U_n$ 且 $y\neq x$。 则 $\{y\}^c$ 是 $x$ 的一个开邻域，但 $\mathcal{B}$ 中取不出 $B_k\subseteq \{y\}^c$ ，矛盾。

序列的收敛

我们知道，第一可数空间中，若 $x$ 是 $A$ 的一个聚点，则 $A\setminus \{x\}$ 中存在一个序列收敛于 $x$。 能取出这样的序列，是由可数邻域套基保证的。 但在余可数拓扑中，情况就完全不同了。因为在这个拓扑中，序列的收敛的充要条件是序列在某项后固定。下面证明必要性：

设 $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ 是余可数拓扑中收敛于 $x$ 的一个序列。 假设其不终为 $x$，即对于任意 $N\in \mathbb{N}$，存在 $n\ge N$ 使得 $x_n\neq x$，即 $A = \{k:x_k\neq x\}$ 是一个无限集合。易见 $A^c$ 为开集，且 $x\in A^c$，故 $A\in \mathcal{N}(x)$。 然而对于 $A$, 并不存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得 $n\ge N$ 时 $x_n\in A$，这与 $\{x_n\}$ 收敛于 $x$ 矛盾。

就我而言，单单从「第一可数空间中必有收敛于聚点的序列」这个命题的证明出发，并不能看出，若是取消了第一可数性会发生怎样的灾难，只不过是不能那么直白地取出收敛于聚点的一列元素罢了。我隐隐还认为，有别的方法可以取出这样一列元素。但是显然这种方法不存在。上面的例子真是天外飞仙，从完全想不到的角度刷新了我的认知。