因果拾遗

SUTVA

全称是Stable Unit Treatment Value Assumption，两个方面：

• 处理对所有个体都是相同的
• 每个个体的潜在结果不受其他个体处理分配的影响

这样，才能保证 $Y_i = Y_i(D_i)$ 是良定义的。

理解随机实验所保证的

随机实验保证了

$$(Y_i(1),Y_i(0))\perp W_i$$

即

$$Y_i(1)\mid W_i = Y_i(1)$$

( $Y_i(0)$ 类似)

这样理解：两个随机变量相等理解为它们的分布相同，也就是说带条件的与不带条件的随机变量分布相同，这又怎么理解呢？从抽样的角度理解。从带条件的子群体中抽样，如同从总体中抽样，这条件形同虚设。

DiD

上学期有门课讲这个，据说是一个经常想出好点子但不喜欢严密论述的经济学家想出来的方法。

当时的情景是这样的：

某州出台一项政策，这个家伙想研究一下这个政策的作用，刚好发现一条公路，路两边城市建设、人口情况都很相近，但此路是两州的分界，于是也是政策的分界，这就形成了一个很好的自然实验。路两边的指标在政策出台前后都有变化（注意这就是一次差分），那么如何提纯政策带来的变化？再差分一次呗，故称双重差分(Difference in Difference).

Selection Bias & Confounding Bias

选择偏差

著名的例子的Berkson's Paradox，医院里病人有两种病，A和B，A和B是独立的，但在医院里就不独立了，因为如果一个人没有A，那么他就更可能有B。也就是说本来独立的变量经过conditioning后就不独立了。

在因果推断中，当 Treatment $D$ 与 $Y(0),Y(1)$ 不独立时，就会引入选择偏差。

$$E[Y(1) | D=1] - E[Y(0) | D=0] = \underbrace{E[Y(1) - Y(0) | D=1]}_{\text{真实的因果效应 (ATT)}} + \underbrace{\{ E[Y(0) | D=1] - E[Y(0) | D=0] \}}_{\text{选择偏差 (Selection Bias)}}$$

混杂偏差

当存在一个变量 $X$ 同时影响 Treatment $D$ 和 Outcome $Y(0), Y(1)$ 时，本来 $D,(Y(0),Y(1))$ 不独立，但conditioning on $X$ 之后就独立了。

这时候会引入混杂偏差。著名的例子是Simpson's Paradox，对结石病有A,B两种疗法，其中A常用于治疗大结石（当然也可以用于治疗小结石，不过这样是杀鸡用牛刀），B常用于治疗小结石（当然也可以用于治疗大结石，但这是铤而走险）。分别看小结石和大结石的治愈率，A都比B好，但合在一起看，B的治愈率却比A好，因为A多治大结石，总体治愈率偏向大结石的治愈率，B反之。

在因果推断框架中，令 $D=1$ 代表病人采取A疗法，$D=0$ 代表病人采取B疗法，$X=1$ 代表病人结石较大，$X=0$ 代表病人结石较小。

先看看无条件不独立：

$$P(Y(0)=1\mid D=1) \ne P(Y(0)=1\mid D=0)$$

这意思就是病人被分配到A疗法的情况下，采取B疗法的治愈概率与病人被分配到B疗法的情况下，采取B疗法的治愈概率不同。为啥呢？因为病人被分配到A疗法的情况下，ta大概率结石较大，此时采取B疗法的治愈率较低；病人被分配到B疗法的情况下，ta大概率结石较小，此时采取B疗法的治愈率较高。

再看看条件独立：

$$P(Y(0)=1\mid D=1, X=1) = P(Y(0)=1\mid D=0, X=1)$$

这意思就是这位病人已经是大结石了，那么无论ta被分配到A疗法还是B疗法，采取B疗法的治愈率都是一样的。

这种情况下，观测总体处理效应的肯定是有偏的，这种偏差就是混杂偏差。至于具体形式，没有选择偏差那么好写。