因子分层与因子IC

起因是遇到一个 IC 很低但分层很好的因子，探究一下为啥。

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首先推导因子 $f$ 的 IC 和前向收益率 $r$ 之间的关系，把 $f$ 做标准化，得到 $z$，容易得到

$$IC = \mathrm{Corr}(r,f) = \mathrm{Corr}(r,z)=\frac{\mathrm{Cov}(r,z)}{\sigma(r)}$$

记 $\beta=\mathrm{Cov}(r,z)=IC\cdot \sigma(r)$，并假设收益中性，即 $\mathbb{E}[r]=0$，则

$$r' = \beta z$$

是对 $r$ 的最佳线性预测，因此对于一个资产 $i$，可以用

$$IC \cdot \sigma(r) \cdot z_{i}$$

来估计它的前向收益率。

所以看一个因子分层分得好不好，不仅要看 IC，还要看它本身的分布。如果这个分布不同组 z-score 均值的差异比较大，分层会倾向于好。