风险模型：以 Barra 为例

风险模型是用来构建投资组合的。

Barra 多因子模型

一个国家因子， $P$ 个行业因子， $Q$ 个风格因子

R_{it}^e = \lambda_{Ct}+\sum_{k=1}^{P}\beta_{i,I_{k},t-1}\lambda_{I_{k}t} +\sum_{k=1}^{Q}\beta_{i,S_{k},t-1}\lambda_{S_{k}t}+u_{it}

$\beta_{i,I_{k},t-1}$ 表示 $t-1$ 期股票 $i$ 在第 $k$ 个行业因子上的暴露。

注意国家因子暴露和行业因子暴露之间存在共线性（因为国家因子就是全市场因子，全市场又是各个行业组成的），因此对行业因子的因子收益率做以下限制：

为啥这样能解决共线性问题？

风格因子的暴露使用公司特征，在截面上做标准化，满足

\sum_{i=1}^{N} s_{i}\beta_{i,S_{q},t-1} = 0\quad q=1,\dots,Q

其中 $s_{i}$ 代表股票 $i$ 的市值权重。再在截面上除以标准差，完成风格因子暴露的标准化。

记 $R_{Mt}^e$ 为 $t$ 期市场组合的超额收益（以 $s_{i}$ 为权重配置资产），可以推导得：

所以叫市场因子，所以与行业因子有共线性。

一开头那个模型，省略时期下标，用矩阵表示：

R^e=\beta \lambda+u

用 WLS 估计，求解时需要指定权重矩阵。Barra 模型假设个股特值性收益率的方差（就是 $\sigma^{2}(u)$ ）和其市值平方根成反比，并选择了如下的回归权重矩阵：

求解的另一个难点是约束（7.20），构建约束矩阵

用带约束条件的最小二乘法^[1]求解即可得到纯因子投资组合的股票权重矩阵 $\Omega$ （联系这里）：

\Omega = C(C^T\beta^TW\beta C)^{-1}C^T\beta^T W