如何对Beta因子进行稳健估计

研报原文见这里。

此研报中的 Beta 取狭义，即股票收益相对市场收益的波动幅度（对市场风险的暴露）。

Beta因子估计方式

等权方式下的CAPM Beta

进行时间序列回归：

$$r_{i,\tau} = \alpha_i + \beta_{i,t}^{HIST}r_{m,\tau}+\epsilon_{i,\tau}\qquad \tau\in [t-k,t]$$

其中

• $r_{i,\tau}$ 表示股票 $i$ 在 $\tau$ 时刻的收益率
• $\alpha_i$ 为回归的截距项
• $\beta_{i,t}^{HIST}$ 股票 $i$ 在 $t$ 时刻的历史 Beta
• $r_{m,\tau}$ 为市场组合在 $\tau$ 时刻的收益率

直接用 OLS 求解 $\hat\beta_{i,t}^{HIST}$ .

EWMA 方式下的CAPM Beta

对较远的数据赋予更小的权重。

设当前为 $t$ 期，则如下赋权：

$$\begin{align*} &r_0 & \cdots & r_{t-\tau} & \cdots & r_t\\ &\lambda^t & \cdots & \lambda^{\tau}=\frac{1}{2} & \cdots & \lambda^0=1 \\ \end{align*}$$

上面的 $\tau$ 称为半衰期参数，一般选定它之后，再计算 $\lambda$ ，最后对权重进行归一化。

仍可用 OLS 方法求解，求以下线性方程组的最小二乘解即可。

$$\begin{bmatrix} r_{i,1}\\ \vdots \\ r_{i,\tau} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1 & & \\ &\ddots&\\ &&w_{\tau} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&r_{m,1}\\ \vdots & \vdots \\ 1 & r_{m,\tau} \end{bmatrix}$$

虽然有解析解，但

个股在交易过程中会存在停牌的情况，而对于停牌日的数据点权重我们需要进行逐个剔除，最终将权重进行归一化处理。由于每只股票的停牌日期并不相同，因此对于历史数据点赋予的权重也不一样，所以暂时只能采用循环的方式对其进行求解。

贝叶斯压缩 Beta 估计

采用历史数据得到的 Beta 值是真实 Beta 值的无偏估计量，但是其估计方差较大；而另一方面，先验 Beta 是真实协方差矩阵的有偏估计量，但其估计方差较小。因此，二者的线性组合在一定程度上可以认为是在“取己之长，补彼之短”

$$\beta^{Shrink}_{i,t} = \lambda \beta^{HIST}_{i,t}+ (1-\lambda)b_{i,t}\qquad \lambda =\frac{s^2_{b_{i,t}}}{\sigma^2_{\beta^{HIST}_{i,t}}+s^2_{b_{i,t}}}$$

其中

• $\beta^{HIST}_{i,t}$: 根据历史数据估计得到的 Beta 值
• $b_{i,t}$: 个股先验Beta值
• $\sigma^2_{\beta^{HIST}_{i,t}}$ ： 历史 Beta 值的估计误差大小
• $s^2_{b_{i,t}}$ : 先验 Beta 值方差

关于先验 Beta 值的选择，通常有三：

• 横截面上全样本所有股票的平均 Beta 值
• 横截面上个股所处行业的行业平均 Beta 值
• 横截面上个股所处市值分组下的市值加权平均 Beta 值

衡量估计误差

RMSE

$$R M S E _ {t} = \sqrt {\frac {1}{N} \sum_ {i = 1} ^ {N} (\beta_ {i , t} ^ {E s t i m a t e} - \beta_ {i , t} ^ {T r u e}) ^ {2}}$$

$$R M S E = \frac {1}{T} \sum_ {t = 1} ^ {T} R M S E _ {t}$$

MAE

类上

Menchero 方法

实证检验

回望周期的选择

回望周期越长，估计误差越小

加权方式的选择

EWMA 加权比等权的估计误差小

压缩模型下不同先验 Beta 的选择

采用不同的先验 Beta 值进行压缩估计的方法均能够明显改善估计效果。

在市场均值、行业均值和市值分组均值三种先验 Beta 的选择中，其RMSE 的差别并不大，但是从 RankIC 的角度来讲选择行业 Beta 均值作为先验Beta 的预测效果要普遍更好。

不同分组下的Beta估计误差

可以认为，市值与 Beta 因子之间存在一定的相关关系，这也就是采用市值分组下的市值加权平均值作为其先验 Beta 的合理性所在。