多因子模型的回归检验

只用看 Fama-MacBeth 回归 ，其他都是原始人方法。

回顾模型

多因子模型的回归检验中最重要的就是检验所有 $\alpha_i$ 联合起来是否在统计上足够接近零。同时还应该检验因子收益率。

时间序列回归

此方法适用于风格因子构成的多因子模型。

$$R_{it}^e = \alpha_i + \boldsymbol\beta_i^T \boldsymbol\lambda_t + \epsilon_{it}$$

需要预先知道各时期的因子收益率 $\boldsymbol\lambda_t$ 作为解释变量，然后分别对每个资产的收益率进行时序回归，得到资产在这些因子上的暴露的估计 $\hat{\boldsymbol\beta_i}$ 和 $\alpha_i$

然后在时间维度上取期望，得到

$$E_T[R_i^e] = \hat\alpha_i + \hat{\boldsymbol\beta_i}^T \hat{\boldsymbol \lambda}$$

其中 $\hat{\boldsymbol \lambda} = E_T[\boldsymbol\lambda_t]$。

接下来就是检验诸 $\alpha_i$ 是否在统计上联合为零，有各种方法，不过书上没仔细讲。

至于因子收益率的检验，看预先是怎么得到因子收益率的，如果是排序法，就用排序法的检验方式。

截面回归

假设 $t$ 期一组因子的取值为 $\boldsymbol f_t = [f_{1t},\cdots ,f_{Kt}]^T$，注意是因子的取值而不是因子收益率的取值。

首先通过以下时序线性回归模型确定因子暴露：

$$R_{it}^e = a_i + \boldsymbol\beta_i^T \boldsymbol f_t + \epsilon_{it}$$

原文说到：

如果模型中的解释变量不是因子收益率， 则它的截距项就不是定价误差。

所以采用 $a_i$ 而不是 $\alpha_i$ 。那问题来了：为什么因子值的系数就是暴露呢？暴露不是对因子收益率而言的吗？

回答：这暴露的确定，是相当自由的，见书中 2.3 节开头最后，说到有人直接用公司特征作为因子暴露的估计。

通过上面的回归得到 $\boldsymbol{\hat\beta_i}$ 和 $\hat\epsilon_{it}$ ，然后做线性回归 $E_T[R_i^e] \sim \boldsymbol{\hat\beta_i}$ ，即

$$E_T[R_i^e] = \boldsymbol{\hat\beta_i}^T \boldsymbol\lambda + \alpha_i$$

用 OLS 得到对因子收益率的估计 $\hat{\boldsymbol\lambda}$ 和对定价误差的估计 $\hat\alpha_i$ ，注意这里 $\alpha_i$ 是回归的残差而不是截距项。

当然， 公式是“死的”， 应用是“活的”， Cochrane（2005） 指出在进行截面回归时， 也可以考虑包含截距项。

然后用各种方法检验即可。

最后值得一提的是， 截面回归既可以检验由风格因子构成的模型， 也可以检验同时包括风格和宏观经济等不同类型的因子的模型。

总结就是：

• 先用时间序列回归估计诸资产对选定因子的暴露（对每个资产都要做这一步）
• 用上一步得到的暴露，做截面回归，得到因子收益率（所有资产放在一起做一步回归）

时序回归 vs 截面回归

看到这里， 有的读者朋友也许会问一个问题。 对于风格因子， 它们的因子模拟投资组合明明已经有了， 因子收益率时间序列也有了， 只需要通过在时序上取平均就可以得到因子预期收益率， 而截面回归却进行了第二步， 通过OLS或GLS得到因子预期收益率。 这两种方法得到的因子收益率是不同的， 那么它们之间有什么差异？ 到底哪个是更准确的呢？

记 $N$ 为资产个数，$K$ 为因子个数。

把截面回归

$$E_T[R_i^e] = \boldsymbol{\hat\beta_i}^T \boldsymbol\lambda + \alpha_i$$

写成矩阵形式：

$$E_T[R^e] = B\boldsymbol\lambda + \boldsymbol\alpha$$

由 OLS 得到

$$\hat{\boldsymbol\lambda} = (B^TB)^{-1}B^TE_T[R^e]$$

记 $\Omega = (B^TB)^{-1}B^T$，它可以理解为权重矩阵，它给出 $K$ 种处置 $N$ 个资产的办法（其第 $i$ 行与 $E_T[R^e]$ 的内积为 $\hat{\boldsymbol\lambda}$ 的第 $i$ 个元素）。

注意 $\Omega B = I$，而 $B$ 记录了各个资产对各个因子暴露。回想 用投资组合估计因子收益率的方法，它要求这个投资组合不应该有对其他因子的暴露，而 $\Omega B = I$ 这个性质就说明 $\Omega$ 给出了满足条件的可以用来估计 $K$ 个因子的收益率的投资组合。

$\Omega$ 的第 $k$ 行给出了一个只在第 $k$ 个因子上有暴露，且暴露为 1 的投资组合，这种投资组合称为纯因子投资组合。

因此通常认为截面回归得到的因子收益率更加客观。

Fama-MacBeth 回归

该回归第一步与截面回归一样，差别在第二步：

Fama-MacBeth 回归在每个时间点 $t$， 以 $t$ 期的收益率 $R_{it}^e$ 为因变量（注意： 是 $t$ 期的收益率， 而非全部 $T$ 期收益率的均值），以 $\hat{\beta}_{i}$ 为自变量进行截面回归， 因而一共进行了 $T$ 次截面回归。数学模型如下：

$$R_{it}^e = \hat{\beta}_{i}\lambda_{t}+\alpha_{it}, \quad i = 1,2,\dots,N$$

若包含截距项，就是

$$R_{it}^e = \gamma_{t}+\hat{\beta}_{i}\lambda_{t}+\alpha_{it},\quad i = 1,2,\dots,N$$

接下来把 $T$ 次截面回归得到的 $T$ 个估计取平均，得到最后的对因子收益率的估计。

这样做的好处就是方便做检验，可以方便地得出每个因子收益率 $\hat{\lambda}_{k}$ 的标准误和每个资产定价误差 $\hat{\alpha}_{i}$ 的标准误。

有必要指出的是， 当截面回归中的解释变量 $\hat{\beta}_{i}$ 在全部 $T$ 期上不变时，以上两种方法得到的估计是相同的。

但是上面的截面回归第一步得到的 $\hat{\beta}_{i}$ 就是在全部 $T$ 期上保持不变的，所以实际运用中，估计 $\beta_{i}$ 时常常采用滚动窗口，模型就变成了

$$R_{it}^e = \hat{\beta}_{i,t}\lambda_{t}+\alpha_{it}, \quad i = 1,2,\dots,N$$

若包含截距项，就是

$$R_{it}^e = \gamma_{t}+\hat{\beta}_{i,t}\lambda_{t}+\alpha_{it},\quad i = 1,2,\dots,N$$

最后说说这个回归的不足：它对 $\alpha_{it}$ 在时序上的相关性无能为力。