因子暴露和因子收益率

考虑之前介绍过的回归方法，第二步回归解释变量用的是 $\hat{\beta}_{i}$ ，不是真实的暴露，所以这里存在解释变量的误差（errors in variables)，计量中学过，这可能是要破坏估计量的无偏和一致性的。

于是有两种主流解决方法：

• IV
• 直接用公司特征作为暴露

呃，我个人不太喜欢 IV，看看最后是谁胜出吧。

引入工具变量

先给出模型：

$$R_{it}^e = \gamma_{t}+\hat{\boldsymbol{\beta}}_{i}\boldsymbol{\lambda}_{t}+\alpha_{it},\quad i = 1,2,\dots,N$$

令

$$R_{t}^e = \begin{bmatrix} R_{1t}^e \\ \vdots \\ R_{Nt}^e \end{bmatrix}, \hat{\boldsymbol{\beta}}_{E} = \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol{\beta}}_{1}^T \\ \vdots \\ \hat{\boldsymbol{\beta}}_{N}^T \end{bmatrix}, \boldsymbol{\alpha}_{t} = \begin{bmatrix} \alpha_{1t} \\ \vdots \\ \alpha_{Nt} \end{bmatrix}$$

再定义 $N\times (K+1)$ 矩阵 $\hat{B}_{E} = [\boldsymbol 1_{N}, \hat{\boldsymbol{\beta}}_{E}]$ 和 $K+1$ 维向量 $\xi_{t}=[\gamma_{t},\lambda_{1t},\dots,\lambda_{Kt}]$ ，上面的模型就可以写成

$$R_{t}^e = \hat{B}_E \xi_{t}+\boldsymbol{\alpha}_{t}$$

为减少EIV问题的影响， Jegadeesh et al.（2019） 在估计上面模型的 $\xi_{t}$ 中引入了工具变量， 得到 $\xi_{t}$ 的IV估计量：

$$\hat{\xi}_{IV,t} = (\hat{B}_{I}^T\hat{B}_{E})^{-1}(\hat{B}_{I}^TR_{t}^e)$$

式中 $\hat{B}_{I}=[1_{N},\hat{\beta}_{I}]$ 是 $\hat{B}_{E}$ 的工具变量。

...

使用公司特征

还是同一篇论文，说加入遗漏变量做回归后，原来的暴露 $\hat{\beta}_{i}$ 变🤡了。

所以我感觉这论文主要是想说，用时序回归估计暴露是小丑做法，石川大哥你怎么单列出来一节？好像这方法很好使似的。

看这个表格：

说明文字：

总之就是：直接用公司特征好。

两类模型

当使用个股作为测试资产时， 以公司特征作为因子暴露则“完胜”时序回归得到的 ：前者能获得显著风险溢价， 但后者却不行。

直接用公司特征作为个股在因子上的暴露，这种模型叫做截面多因子模型。

Fama and French（2020） 回答了这个问题，其核心结论为， 比起传统的“时序回归多因子模型”， “截面回归多因子模型”更能解释资产收益率的预期差异， 即资产的定价误差更接近零。

此外， 当使用“截面回归多因子模型”时， 因子暴露应使用时变的公司特征， 而非恒定的公司特征（比如对于某公司， 把它的某个特征在时序上取均值， 但这种方法效果并不好）