2024复旦DSBA笔试题目——数学部分(2)

1

求解 $f_n(x)$ 的极限函数 $f(x)$，当 $a, b$ 满足什么条件时，$f(x)$ 连续。

$$f_n(x) = \frac{x^{2n-1} + ax^2 + bx}{x^{2n} + 1}, \quad x \in \mathbb{R}$$

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2

$z = f(u), u = \sqrt{x^2 + y^2}, f''(u) = -\frac{f'(u)}{u}$

(1) 证明：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$

(2) 如果 $f(1) = 0, f'(1) = 1$，求解 $f(u)$

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解

第一问仔细计算即可。

第二问能看出来是解微分方程就行。

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3

$a_n = \sqrt{\frac{1}{n(n+1)}}$，$S_n$ 是 $n x^2 + \frac{1}{n}$ 和 $(n+1)x^2 + \frac{1}{n+1}$ 所围图形面积。

(1) 求 $S_n$

(2) 求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{a_n}$

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解

仔细计算即可，直接给出答案：

(1) $S_n = \frac{4}{3}\left(\frac{1}{n(n+1)}\right)^{3/2}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_n}{a_n}=\frac{4}{3}$

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4

伴随矩阵 $A^* = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{bmatrix}$，且已知 $AB = B + 3A$，求解矩阵 $B$

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解

两边同时左乘 $A^*$ ，整理得

$$(\det A \cdot I - A^*)B = 3\det A \cdot I$$

下面问题是求 $\det A$ 。

由 $\det(\det A\cdot I) = \det (A^*A) = \det A\det A^*$ 知 $(\det A)^4 = \det A\det A^*$ 进而知 $\det A = 2$

然后用高斯消元法算就行了，结果是

$$B = \begin{bmatrix} 6&&&\\ &6&&\\ 6&&6&\\ &3&&-1 \end{bmatrix}$$

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5

$A^2 = A$

(1) $A$ 是否可对角化？

(2) $B + 2I = A$，求 $|B|$

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解

(1) 由题设知 $A(A\boldsymbol x)=A\bm x$ 故 $A\bm x$ 是特征值为 $1$ 的特征向量。

看看还有没有别的特征值 $\lambda$ : $A\bm x = \lambda\bm x$ ，同时左乘 $A$ 得 $A\bm x = \lambda A\bm x$ ，因为 $\lambda\ne 1$ ，那只有 $A\bm x=\bm 0$，也就是说 $\lambda \bm x=\bm 0$ ，而特征向量不为零，所以 $\lambda=0$ .

$A$ 可对角化等价于它的特征子空间的直和为全空间。咱们看看任意向量 $\bm y$ 能不能写成这两个子空间向量的线性组合 $\bm u+ \bm v$ .

设 $\bm u = A\bm u$，即 $\bm u$ 属于特征值为1的特征子空间，则 $\bm v = \bm y - A\bm u$ 满足 $A(\bm y - A\bm u) = 0$，这说明 $A\bm u = A\bm y$ 。

即 $\bm y$ 可以写为 $(\bm y-A\bm y) + A\bm y$ ，下略。

(2) $B=A-2I$

考虑 $A$ 的特征多项式

$$\det(\lambda I-A) = \lambda^{n-r}(\lambda-1)^{r}$$

其中 $r$ 指特征值为 $1$ 的特征子空间的维数。

则

$$\det B = \det (A-2I) = (-1)^n2^{n-r}$$

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6

检测疫情感染有两种方案：

• 方案一： 每人一个试管，一一检测；
• 方案二： 8个人放在一只试管检测，若阳性再对8个人一一检测。

感染概率 $1-p$，不感染概率 $p$。

(1) 8个人一一检测时恰有两人感染，求极大似然的参数 $p$。

(2) 方案二的期望次数比方案一少，求 $p$ 的范围？

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解

(1) 似然函数

$$L(p ;\bm x) = \binom{8}{2}(1-p)^2p^6$$

经取对数、解一阶条件步骤后，得 $\hat p=\frac{3}{4}$

(2) 显然方案一的期望为 $8$ ，方案二的检测次数 $X$ 的期望为

$$\begin{align*} E(X)&=E(X\mid \text{无人感染})P(\text{无人感染})+ E(X\mid \text{有人感染})P(\text{有人感染})\\ &= 1\cdot p^8 + 9\cdot (1-p^8)\\ &=9-8p^8 \end{align*}$$

接下来解不等式

$$9-8p^8<8$$

即可。

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7

$X_1, \dots, X_n$ 独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$。

$$\bar{X}_k = \frac{\sum_{i=1}^{k} X_i}{k}$$

求 $\bar{X}_{k+1} - \bar{X}_k$ 的分布。

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解

仔细计算即可，答案为

$$\bar{X}_{k+1} - \bar{X}_k \sim N(0,\frac{\sigma^2}{k(k+1)})$$

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8

$X_1,...,X_n$ 独立同分布，服从均匀分布 $U(\theta, \theta + 1)$，请提出两个 $\theta$ 的无偏估计量，并讨论两者的有效性。

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解

求一阶矩为 $E(X_i)=\theta +\frac{1}{2}$，容易提出一个无偏估计量 $\hat{\theta}_1 = \bar X-\frac{1}{2}$. 其方差为 $\frac{1}{12n}$

第二个估计量可以取 $\hat\theta_2 = X_1-\frac{1}{2}.$ 方差为 $\frac{1}{12}$ .

更正经的做法可以看 概统拾遗 › 一些例子。

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9

(a) 多个文物，两种方法测得它们的年限，检验两种测量方法是否有差别，显著性水平取 0.05？（提供了表格数据）

(b) (a) 题中认为有明显差异而犯错的概率是多少？

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解

配对 $t$ 检验。

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10

$$u_i = \alpha + \beta x_i, \quad y_i = 0 \text{ 或 } 1, \quad i = 1 \dots n$$

$$P(y = 1\mid x) = \frac{1}{1 + e^{-u}}$$

(1) 求 $\alpha$ 和 $\beta$ 的 MLE

(2) 解释参数 $\beta$ 的含义

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解

(1) 记

$$p_i = P(y_i = 1\mid x_i) = \frac{1}{1 + e^{-u_i}}$$

对于一个样本点 $y_i$，其出现的条件概率（我们把 $x_i$ 看作先验已知的常数，后面的似然函数也是带条件的） $q_i$ 为

$$p_i^{y_i}(1-p_i)^{1-y_i}$$

因此条件似然函数为

$$L(\alpha ,\beta) = \prod_{i=1}^n p_i^{y_i}(1-p_i)^{1-y_i}$$

对数条件似然函数为

$$\begin{align*} \ell(\alpha ,\beta) &= \sum_{i=1}^n\left(y_i\ln p_i + (1-y_i)\ln(1-p_i)\right)\\ &=\sum_{i=1}^n(y_i\ln \frac{p_i}{1-p_i}+\ln(1-p_i))\\ &= \sum_{i=1}^n(y_i u_i-\ln(e^{u_i}+1)) \end{align*}$$

一阶条件为

$$\begin{align*} \frac{\partial\ell}{\partial\alpha}&=\sum(y_i-p_i)=0\\ \frac{\partial\ell}{\partial \beta}&=\sum x_i(y_i-p_i)=0 \\ \end{align*}$$

(2) log odds的变化。