2024复旦DSBA笔试题目——数学部分

1. (15分)

设 $0 < x_1 < 3$，

$$x_{n+1} = \sqrt{x_n(3 - x_n)}, \quad (n = 1, 2, \dots)\text{。}$$

证明数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，并求极限。

跟25年的一样，略。

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2. (15分)

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续，且 $f(0) = f(1)$，求证：

(a) (6分) 存在 $x \in [0, 1]$，使得：

$$f(x) = f(x + 1/2)\text{。}$$

(b) (9分) 对任意正整数 $n$，存在 $x \in [0, 1]$，使得：

$$f(x) = f(x + 1/n)\text{。}$$

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解

(a)：构造

$$F(x) = f(x) - f(x+\frac{1}{2})$$

问题转化为证明 $F(x)$ 有零点，取 $F(0)$ 和 $F(\frac{1}{2})$ ，显然。

(b)：构造

$$F(x) = f(x) - f(x+\frac{1}{n})$$

注意到 $F(0)+F(1/n)+\cdots + F((n-1)/n) = 0$，下略。

怎么注意到的呢？为了凑 $f(0)$ 和 $f(1)$ ，首先看了 $F(0)$ 和 $F((n-1)/n)$，发现很像裂项求和的首项和末项，故加上 $F(1/n)$ 等凑齐中间链条。

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3. (15分)

设闭区域 $D : x^2 + y^2 \le y$，且 $x \ge 0$。$f(x,y)$ 为 $D$ 上的连续函数，且满足：

$$f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} - \frac{8}{\pi} \iint_D f(u,v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v\text{。}$$

求 $f(x,y)$。

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解

区域 $D$ 可以改写为 $x^2+(y-\frac{1}{2})^2\le \frac{1}{4}$，这样再用极坐标换元，可得

$$D_{r,\theta} = \{(r,\theta):0\le r\le \sin \theta , 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}\},S_D = \frac{\pi}{8}$$

设 $I = \iint_D f(u,v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v$

对式子两边同时求 $D$ 上的二重积分得

$$I = \iint_D \sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy - \frac{8}{\pi}IS_D$$

下面的重点就是 $\iint_D \sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy$，

$$\begin{align*} \iint_D \sqrt{1 - x^2 - y^2}dxdy&=\int_{0}^{\pi/2}d \theta \int_{0}^{\sin \theta }r \sqrt[]{1-r^2}dr\\ &=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{3}(\cos^3 \theta-1 ) d \theta\\ &=\frac{2}{9}-\frac{\pi}{6} \end{align*}$$

因此

$$2I = \frac{2}{9}-\frac{\pi}{6} \Rightarrow I = \frac{1}{9}-\frac{\pi}{12}$$

于是

$$f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2} - \frac{8}{\pi} (\frac{1}{9}-\frac{\pi}{12})$$

两个要点：

• 极坐标区域表示，先在直角坐标系中作个图就好确定 $r,\theta$ 的范围了
• 不用极坐标的话，计算会极其繁琐

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4. (15分)

设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $m \times n$ 的矩阵，$1 \le r \le \min\{m, n\}$，证明：

(a) (9分) 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $PA$ 的后 $m - r$ 行全为 0；

(b) (6分) 存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $AQ$ 的后 $n - r$ 列全为 0。

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证明

这题出得呆呆的。是用准确的数学语言还是自然语言呢？问这么底层的东西，应该主要考察咱对基础概念的理解深刻不深刻，但是这玩意也不怎么深刻啊，你问点关于秩的东西呢？

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5. (15分)

证明方程组

$$\begin{cases} x_1 - x_2 = a_1, \\ x_2 - x_3 = a_2, \\ x_3 - x_4 = a_3, \\ x_4 - x_5 = a_4, \\ x_5 - x_1 = a_5. \end{cases}$$

有解的充要条件为 $\sum_{i=1}^5 a_i = 0$。在有解的情况下，求出它的通解。

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解

系数矩阵的列空间为

$$\text{span}\left( \begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\0\\-1\\1\end{bmatrix} \right)$$

有解等价于 $\bm a$ 是四个基向量的线性组合，容易验证这又等价于题中的条件。通解顺便就出来了。

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6. (15分)

一对夫妻计划进行一次 60 天的自驾游，夫妻二人都会开车，并且约定：

(1) 任意一天，全天只有一个开人车，另一个休息；

(2) 如果前一天丈夫开车，第二天他继续开车的概率是 1/4，妻子开车的概率是 3/4；

(3) 妻子不能连续两天开车，第一天夫妻二人开车的概率都是 1/2。

(a) (7分) 求前三天妻子开车天数的概率分布列和数学期望。

(b) (8分) 设在第 $n$ 天时，由丈夫驾驶的概率为 $p_n$，求数列 $\{p_n\}$ 的通项公式。

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解

(a) 枚举即可。分布列为

$$\begin{matrix} T & 0 & 1 & 2\\ p &\frac{1}{32} & \frac{19}{32} & \frac{12}{32} \end{matrix}$$

容易计算期望为 $\frac{43}{32}$。

(b) 记事件 $H_n$ 为丈夫第 $n$ 天开车，则

$$\begin{align*} P(H_n) &= P(H_n\cap H_{n-1}) + P(H_n\cap \bar H_{n-1})\\ &= P(H_n\mid H_{n-1})P(H_{n-1})+P(H_n\mid \bar H_{n-1})P(\bar H_{n-1})\\ &=\frac{1}{4}P(H_{n-1})+P(\bar H_{n-1})\\ &=\frac{1}{4}P(H_{n-1})+P(\bar H_{n-1}\cap H_{n-2})+P(\bar H_{n-1}\cap \bar H_{n-2})\\ &= \cdots \\ &= \frac{1}{4}P(H_{n-1}) + \frac{3}{4}P(H_{n-2}) \end{align*}$$

故 $p_n - p_{n-1} = -\frac{3}{4}(p_{n-1}-p_{n-2})$
然后一堆基操，得到

$$p_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\sum_{i=0}^{n-2}(-\frac{3}{4})^i, n\ge 2$$

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7. (15分)

设 $X, Y$ 独立，且都服从标准正态分布 $N(0, 1)$，$(R, \Theta)$ 是其极坐标变换，即

$$X = R \cos\Theta, \quad Y = R \sin\Theta\text{。}$$

求 $(R, \Theta)$ 的联合密度函数。

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解

看概统拾遗 › Mutiple Random Variables。

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8. (15分)

设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是取自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，$\bar{X}$ 为样本均值。假设 $\mu$ 未知，求常数 $k$ 使得

$$\hat{\sigma} = k \sum_{i=1}^n |X_i - \bar{X}|$$

是 $\sigma$ 的无偏估计。

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解

重点是求 $E|X_i - \bar{X}|$。

易知 $X_i - \bar{X}\sim N(0,\frac{n-1}{n}\sigma^2)$，故

$$\begin{align*} E|X_i - \bar{X}|&= 2\int_{0}^{\infty}uf(u)du\\ &=2\int_{0}^{\infty}z\varphi(z)dz \cdot \sigma \sqrt[]{\frac{n-1}{n}}\\ &= \sigma \sqrt[]{\frac{2}{\pi}\cdot \frac{n-1}{n}} \end{align*}$$

下略。

其中第二个等号的解释看概统拾遗 › Normal Distribution。

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9. (15分)

你的朋友声称其掷骰子时得到 1、2、3、4、5 和 6 的概率分别为 10%、10%、10%、20%、25% 和 25%。在掷出 200 次的结果中，出现了 15 个 1、20 个 2、22 个 3、45 个 4、53 个 5 和 45 个 6。你应该相信你的朋友吗？显著性水平 $\alpha = 0.05$。

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10. (15分)

对于截距为零的一元线性回归模型

$$Y_i = \beta X_i + \varepsilon_i, \quad i = 1, 2, \dots, n,$$

其中 $\{\varepsilon_i\}$ 是独立同分布的随机变量，服从 $N(0, \sigma^2)$ 分布。

(a) (5分) 求 $b$ 的最小二乘估计 $\hat{b}$。

(b) (5分) 求 $\hat{b}$ 的分布。

(c) (5分) 求 $H_0 : b = 0 \text{ v.s. } H_a : b \neq 0$ 的检验法（取显著性水平 $\alpha$）。