2025复旦DSBA笔试题目——数学部分

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$0 < x_1 < 3, x_{n+1} = \sqrt{x_n(3-x_n)}$，证明 $\{x_n\}$ 存在极限，并求极限。

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解

$$x_{n+1} = ... \le \frac{x_n+(3-x_n)}{2} = \frac{3}{2}$$

故第二项开始，取值介于 $0$ 和 $\frac{3}{2}$，
而 $x\in [0,\frac{3}{2}]$ 时，有

$$x\le \sqrt[]{x(3-x)}$$

故第二项开始递增。

单调有界，故极限存在，为 $\frac{3}{2}$

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$$F (x) = \begin{cases} f'(0) & \text{当 } x = 0 \\ \frac{f(x)}{x} & \text{当 } x \neq 0 \end{cases}$$

其中 $f(x)$ 一阶导数连续，$f''(0)$ 存在，$f(0) = 0$。
证明：

(i) $F(x)$ 连续；

(ii) $F(x)$ 一阶导数连续。

知道定义和求函数极限的一般方法（洛必达法则）即可。略。

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两个函数 $y = ax \ (a < 1), y = x^2$，两线形成的面积为 $S_1$，两线与 $x = 1$ 形成的面积为 $S_2$。

(i) 求 $S_1 + S_2$ 的最小值；

(ii) 求取到 (i) 中最小值时的 $a$ 的情况下，两块图形绕 $x$ 轴旋转形成的图形体积。

不难，耐心计算即可。

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$A$、$B$ 为幂等矩阵，证明 $A + B$ 为幂等矩阵的充分必要条件为 $AB = BA = 0$。

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解

首先说一下，$X$ 幂等等价于 $X^2=X$ 。

左推右：由

$$(A+B)^2=A+B$$

知

$$AB+BA=0$$

两边左乘 $B$ 得 $BAB+BA=0$ ，右乘 $B$ 得 $AB+BAB=0$ ，两式相减得

$$AB-BA=0$$

故 $AB=BA=0$ .

右推左：简单，略。

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已知：$2A^{-1}B = B - 4E$。
证明：

(i) $A - 2E$ 可逆；

(ii) 若

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},$$

求 $A$。

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解

(i) $E$ 在此应指单位矩阵。对已知式变形得

$$(A-2E)B=4A$$

别忘记 $A$ 可逆，两边同时右乘 $A^{-1}/4$ 即可得所求。

(ii) 将已知式变形为 $A(B-4E)=2B$ ，耐心计算即可。

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a) 描述一下概率空间中 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 的名称和之间的关系。

b) 考虑先投掷一枚硬币，再投掷一枚骰子，求对应的 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$。

c) 设投硬币的得分为正面1分，反面0分，骰子得分为点数，求硬币和骰子总得分的分布列。

比较简单，略过。

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$n$ 名父亲到幼儿园接孩子，每位父亲接到任何一位孩子的概率均匀分布。

(i) 至少一位父亲接到自己孩子的概率；

(ii) $n$ 很大时，近似估计一下(i)中结果；

(iii) 给出在 $[0, 1]$ 上均匀概率取 $n$ 个点的算法。

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解

应该理解为每个父亲有且仅有一个孩子，那这就是错排问题。记 $D_n$ 为 $n$ 个元素的错排数。那么有

$$D_n = n! \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}$$

具体推导看概统拾遗 › 错排问题。

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那么第一问的概率就是 $1-\frac{D_n}{n!}$

联想 $e^x$ 的麦克劳林展开，$n\to \infty$ 时 $\frac{D_n}{n!}\to e^{-1}$，故第二问的近似结果是 $1-e^{-1}$ .

第三问不会，给了。

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有 $X_1, X_2$ 服从分布：

$$p(x; \theta) = \frac{3x^2}{\theta^3} \quad (0 < x < \theta, \theta > 0)$$

(i) 给出 $\theta$ 的两个无偏估计；

(ii) 比较两个的均方误差。

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解

先计算一阶矩：$E(X)=\frac{4}{3}\theta$。
一个取巧的方法就是

$$\begin{align*} \hat \theta_1 &= \frac{3}{4}X_1\\ \hat \theta_2 &= \frac{3}{4}X_2 \end{align*}$$

均方误差也不用比了，两个一样。

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$X \sim N(\mu_1, \sigma^2), Y \sim N(\mu_2, \sigma^2)$。从两个总体中分别抽样为 $x_1, \dots, x_m$ 和 $y_1, \dots, y_n$。
检验：$H_0: c\mu_1 + d\mu_2 = \delta$，设计检验统计量，给出拒绝域。

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解

两个总体应当认为独立，各个样本也应独立同分布，否则无法处理。

以上假设下，这就是双样本t检验。参考概统拾遗 › 双样本t检验。

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给定数据点 $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$，求直线 $A + Bx = y$ 的参数 $A, B$，使得所有点到直线的垂直距离平方和最小（用 $\bar{x}, \bar{y}, l_{xx}, l_{xy}, l_{yy}$ 表示）。

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解

这就是低秩逼近。记

$$\begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix}$$

中心化之后的矩阵为 $D$，那 $D$ 最大奇异值对应的左奇异向量与所求直线的方向向量平行。具体的介绍看线性代数拾遗 › 奇异值分解.

左奇异向量就是 $DD^T$ 的特征向量，而

$$DD^T = \begin{pmatrix} l_{xx} & l_{xy}\\ l_{xy} & l_{yy} \end{pmatrix}$$

其特征多项式为

$$\det (\lambda I - DD^T) = \lambda ^2 - (l_{xx}+l_{yy})\lambda + l_{xx}l_{yy}-l_{xy}^2$$

其最大的零点为

$$\lambda_{max} = \frac{l_{xx}+l_{yy}+\sqrt[]{(l_{xx}-l_{yy})^2+4l_{xy}^2}}{2}$$

设其对应的特征向量为 $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ 则

$$(\lambda_{max} I - DD^T)\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} = 0$$

展开得两等式，取其中任一可得 $b/a$，即所求直线的斜率 $B$。

结果是

$$\begin{align*} B &= \frac{-l_{xx}+l_{yy}+\sqrt[]{(l_{xx}-l_{yy})^2+4l_{xy}^2}}{2l_{xy}}\\ A &= \bar y - B \bar x\\ \end{align*}$$